一个橡胶塞系在线上，以恒定速率旋转。绳子全程都向内拉，而橡胶塞也全程都在加速。转了 20 圈之后，这个向内的力有没有让橡胶塞获得额外的动能？
直觉上似乎应该有。确实有力作用，橡胶塞也移动了很长的距离。然而，在理想的等速圆周运动中，向心力完全不做功。
原因并不是力太小，也不是物体每转一圈就以某种方式把所做的功「抵消掉」。真正的原因是：这个力的方向恰好完全不利于改变物体的速率。
01力可以改变速度，却不改变速率先从运动本身开始。
在等速圆周运动的任何瞬间：
物体的速度方向沿圆周的切线，向心加速度指向圆心，合力指向圆心，而且速率保持不变。如果你对速率和速度之间的差异有点模糊，这里是最重要的复习：速率告诉你物体移动得多快；速度除了大小之外，还包括方向。
因此，一个沿圆周运动的物体可以保持恒定速率，同时它的速度却每一瞬间都在改变。
在等速圆周运动中，向心力与瞬时位移互相垂直，因此向心力不做功。向内的加速度正是造成这种方向改变的原因。它持续转动速度向量的方向，却不使这个向量变长或变短。
如果你想重新理解为甚么加速度会指向这个方向，可以参阅 向心加速度：为甚么在 HSC 物理中它会指向内侧。
一个大致的直观模型是：你正在跑步，而一位站在你附近的朋友持续从侧面拉你的背包。如果每次拉力都恰好与你的运动方向垂直，他可以让你的路径弯曲，却不会把你推得更快，也不会把你拖得更慢。
这个类比在现实中并不完全成立，因为你的朋友大概无法始终让力保持完全垂直，而且摩擦力也会产生影响。理想的物理情况则更单纯。
02功取决于力的方向当一个力在物体位移方向上具有分量时，这个力就会做功。
对于沿直线位移作用的恒力，
\[
W = Fs\cos\theta
\]
其中：
\(W\) 是功，单位为焦耳（J），\(F\) 是力的大小，单位为牛顿（N），\(s\) 是位移的大小，单位为米（m），而\(\theta\) 是力与位移之间的夹角。假设力与位移方向相同。此时 \(\theta=0^\circ\)，所以 \(\cos 0^\circ=1\)。这个力做正功。
假设力与位移方向完全相反。此时 \(\theta=180^\circ\)，所以这个力做负功。
现在先作一个预测。当力恰好与位移垂直时，会发生甚么事？
在 \(90^\circ\) 时，
\[
\cos 90^\circ=0
\]
所以所做的功为零。
这正是理想等速圆周运动中的几何关系。瞬时位移沿圆周切线，而向心力沿径向。
两者互相垂直。
03关键在于「瞬时」这里有一个容易掉进去的小陷阱。
物体走过四分之一圆周时，显然已经移动了相当长的一段距离。而且，连接起点与终点的直线通常也不会与起点处的力垂直。
所以，你不能只取一个向心力向量，再乘以物体走过的总距离，然后使用 \(W=Fs\cos\theta\)，仿佛力的方向一直保持不变。
事实并非如此。物体运动时，向心力的方向会持续转动。
相反地，可以把整条路径想像成由极大量极小的位移组成。对每一个极小位移，
\[
dW = F_c\,ds\cos 90^\circ = 0
\]
其中 \(dW\) 是极小量的功，\(F_c\) 是向心力的大小，而 \(ds\) 是沿路径的一小段距离。
每一个极小的功贡献都是零。把它们全部加起来，结果仍然是零。
对 HSC 题目而言，通常还有一个更快的方法看出相同结果：使用功-能定理。
\[
W_{\text{net}}=\Delta K
\]
动能为
\[
K=\frac12mv^2
\]
其中 \(m\) 是以公斤（kg）为单位的质量，而 \(v\) 是以米每秒（m s\(^{-1}\)）为单位的速率。
等速圆周运动的速率保持不变，所以 \(v\) 不变。因此 \(K\) 也不变。
所以，
\[
\Delta K=0
\]
因此
\[
W_{\text{net}}=0
\]
这是描述同一个物理现象的两种方式：
从几何角度看，合力与运动方向垂直；从能量角度看，速率与动能保持不变。04向心力不是额外出现的一种力还有另一个常见的混淆来源。
「向心力」并不是指物体一旦做圆周运动，就会凭空出现的一种特殊新力。它是产生圆周运动所需的向内合力的名称。
在等速圆周运动中，它的大小为
\[
F_c=\frac{mv^2}{r}
\]
其中 \(r\) 是圆形路径的半径，单位为米。
这个向内的力可以由以下作用提供：
张力，重力，正向力，摩擦力，或几个实际力的组合。例如，对一颗处于完全圆形轨道上的卫星而言，重力提供向心力。对一个由绳子牵引并在水平圆周上运动的物体而言，张力可以提供向心力。
如果某一个实际力完全沿径向，并由它提供向心力，那么在理想等速圆周运动中，这个实际力不做功。
不过，措辞上要小心。个别的实际力有可能分别做正功或负功，而它们的总切向作用彼此抵消。在等速圆周运动中，必须成立的是合力沿径向，因此合功为零。
如果想进一步了解如何判断是哪一个实际力扮演向内作用的角色，可以参阅 向心力：如何在 HSC 物理中辨认真正的力。
例题：橡胶塞走过四分之一圆周一个 \(0.60\) kg 的橡胶塞，以 \(3.0\) m s\(^{-1}\) 的恒定速率在半径 \(1.2\) m 的水平圆周上运动。求向心力，以及橡胶塞完成四分之一圈期间该力所做的功。
步骤 1
\[
F_c=\frac{mv^2}{r}
=\frac{(0.60)(3.0)^2}{1.2}
=4.5\text{ N}
\]
合力为 \(4.5\) N，方向指向圆心。
步骤 2
在每一瞬间，橡胶塞的极小位移都沿圆周的切线方向。\(4.5\) N 的力则沿径向指向内侧。
因此，两者之间的夹角为 \(90^\circ\)。
步骤 3
对路径中的每一小段，
\[
dW=F_c\,ds\cos90^\circ=0
\]
所以走完整个四分之一圆周后，
\[
W=0\text{ J}
\]
步骤 4
橡胶塞的动能为
\[
K=\frac12mv^2
=\frac12(0.60)(3.0)^2
=2.7\text{ J}
\]
它的速率始终维持 \(3.0\) m s\(^{-1}\)，所以动能也始终维持 \(2.7\) J。
这个结果表示，向内的力大幅改变了橡胶塞速度的方向，却没有向它传递任何净能量。
05为甚么有加速度不代表一定有做功学生常会有以下推理：
有力，所以有加速度。如果有加速度，物体一定会获得能量。
第一步是正确的，第二步则不正确。
加速度代表速度正在改变。速度有两种改变方式：
它的大小可以改变，也就是速率改变；它的方向可以改变。等速圆周运动中的向心加速度只会造成第二种改变。
如果把加速度拆成径向分量与切向分量，这个差异会更加清楚。
径向分量改变方向；切向分量改变速率。
所以：
分量方向主要效果径向或向心指向圆心改变速度方向切向沿运动方向或与运动方向相反改变速率纯等速圆周运动只有径向速率保持不变这给你一个实用的考试判断规则：如果物体沿固定圆周运动，但它的速率正在改变，那么合力除了径向分量之外，也一定具有切向分量。
例题：物体绕圆周运动时正在加速一个 \(1.5\) kg 的物体沿半径 \(3.0\) m 的圆周运动。在某一瞬间，它的速率为 \(4.0\) m s\(^{-1}\)，切向加速度为 \(2.0\) m s\(^{-2}\)。求径向力分量、切向力分量，以及合力在该瞬间做功的速率。
步骤 1
\[
a_r=\frac{v^2}{r}
=\frac{(4.0)^2}{3.0}
=5.33\text{ m s}^{-2}
\]
步骤 2
\[
F_r=ma_r
=(1.5)(5.33)
=8.0\text{ N}
\]
这个 \(8.0\) N 的分量指向圆心。它会改变速度的方向，但瞬时不做功。
步骤 3
\[
F_t=ma_t
=(1.5)(2.0)
=3.0\text{ N}
\]
物体正在加速，所以这个分量与运动方向相同。
步骤 4
功率表示做功的快慢。对与速度平行的力分量，
\[
P=F_tv
\]
其中 \(P\) 是功率，单位为瓦特（W）。
因此，
\[
P=(3.0)(4.0)=12\text{ W}
\]
在该瞬间，合力正以每秒 \(12\) J 的速率向物体传递能量。
重点是，\(8.0\) N 的向心分量仍然不做功。造成动能增加的是 \(3.0\) N 的切向分量。
06向内的力甚么时候会开始做功？「向心力不做功」这个说法依赖一个学生有时会忽略的条件：向内的力必须与物体的速度垂直。
在半径固定的理想圆周运动中，这个条件一定成立，因为速度沿圆周切线方向。
一旦半径改变，情况就可能不同。
想像一个冰球在无摩擦的水平桌面上运动，并连接到一条穿过桌面中央小孔的绳子。当冰球以固定半径绕圆周运动时，它的速度沿圆周切线。张力沿径向，所以张力不做功。
现在有人从小孔下方向下拉绳子。
冰球除了绕著小孔转，也开始向内移动。
它的速度现在有两个分量：
绕小孔运动的切向分量，以及指向小孔的径向分量。张力仍然指向内侧，但它不再与总速度垂直。因此，张力现在可以做正功。
这就是为甚么「向内的力代表功为零」并不是一条安全的规则。
安全的规则是：
当一个力与物体的瞬时速度垂直时，这个力的瞬时功率为零。
以功率表示，同样的概念可以写成
\[
P=\vec F\cdot\vec v
\]
如果力与速度互相垂直，点积就是零。如果速度有一部分沿著力的方向，功率就不会是零。
07考试中最快的判断方法当你在同一道题目中看到功与圆周运动时，应该检查以下条件，而不是死背一句口诀。
半径是否固定？速率是否恒定？你正在分析的力是否完全沿径向？该力是否与瞬时速度垂直？对理想等速圆周运动而言，四个答案都是「是」。径向合力不做功。
如果速率改变，就要寻找切向力分量。
如果半径改变，速度可能出现径向分量，所以即使是径向力也可能做功。
如果有多个实际力作用，不要因为总速率恒定，就假设每一个力各自都不做功。
08问题与解答问题 1一个 \(0.75\) kg 的物体以 \(6.0\) m s\(^{-1}\) 的恒定速率，在半径 \(1.5\) m 的水平圆周上运动。
计算：
a. 向心力，以及
b. 在半圈运动期间，向心力所做的功。
解答 1向心力为 \(18\) N，方向向内；在半圈运动期间，它所做的功为 \(0\) J。
对 a 部分，
\[
F_c=\frac{mv^2}{r}
=\frac{(0.75)(6.0)^2}{1.5}
=18\text{ N}
\]
对 b 部分，瞬时运动方向沿圆周切线，而力沿径向。在整个运动过程中，两者始终互相垂直。
因此，每一个极小的功贡献都为零，所以
\[
W=0\text{ J}
\]
一个很有诱惑力的错误做法是先计算半圆的路程，再乘以 \(18\) N。这会忽略功取决于力相对于每一个位移的方向，也忽略力的方向在运动过程中持续改变。
物体的动能也能证实这个结果：
\[
K=\frac12mv^2
=\frac12(0.75)(6.0)^2
=13.5\text{ J}
\]
速率没有改变，所以动能保持在 \(13.5\) J。
问题 2一颗 \(500\) kg 的卫星，以 \(7.5\times10^3\) m s\(^{-1}\) 的恒定速率，在半径 \(7.0\times10^6\) m 的圆形轨道上运行。假设重力是唯一作用力。
a. 计算重力的大小。
b. 求重力在半圈轨道期间所做的功。
c. 一名学生主张，卫星完成半圈轨道后的整体位移会穿过圆心，而且大致与最初的重力方向相同，因此重力一定做了正功。解释这个论点的错误。
解答 2重力的大小约为 \(4.0\times10^3\) N，但在半圈轨道期间所做的功为 \(0\) J。
对 a 部分，
\[
F_g=F_c=\frac{mv^2}{r}
=\frac{(500)(7.5\times10^3)^2}{7.0\times10^6}
\approx4.0\times10^3\text{ N}
\]
对 b 部分，卫星的速率恒定，所以它的动能没有改变。
使用功-能定理，
\[
W_{\text{net}}=\Delta K=0
\]
重力是唯一的力，因此
\[
W_g=0\text{ J}
\]
对 c 部分，这名学生的论点错误地把重力当成在整个半圈轨道中方向固定不变。
实际上并非如此。重力始终从卫星指向地球中心，因此随著卫星运动，力向量也会持续旋转。
当力在整条路径上持续改变方向时，不能把从起点到终点的整体位移与初始力向量配在一起，直接代入单一的 \(W=Fs\cos\theta\) 计算。
在每一瞬间，重力沿径向，而卫星的速度沿切线方向。两者的点积为零，所以重力不做功。
第二种能量检查方式也得到相同结论：轨道半径保持不变，所以卫星的重力位能保持不变；而它的速率也保持不变，所以动能同样保持不变。
问题 3一个 \(2.0\) kg 的物体，以 \(4.0\) m s\(^{-1}\) 的恒定速率沿半径 \(4.0\) m 的圆周运动。
有两个实际力 A 和 B 作用在物体上。相对于物体，在每一瞬间：
力 A 有一个 \(6.0\) N 的向内分量，以及一个 \(8.0\) N 的向前切向分量；力 B 具有维持等速圆周运动所需的其余分量。求：
a. 力 B 的径向分量与切向分量，
b. 每个力所提供的瞬时功率，以及
c. 「因为运动是等速圆周运动，所以两个力都不做功」这个说法是否正确。
解答 3力 B 必须具有一个 \(2.0\) N 的向内分量，以及一个 \(8.0\) N 的向后切向分量；力 A 提供 \(+32\) W，力 B 提供 \(-32\) W，而「两个力都不做功」这个说法是错误的。
先求所需的径向合力：
\[
F_c=\frac{mv^2}{r}
=\frac{(2.0)(4.0)^2}{4.0}
=8.0\text{ N}
\]
力 A 已经提供 \(6.0\) N 向内的作用力，因此力 B 必须提供剩余的
\[
F_{B,r}=8.0-6.0=2.0\text{ N，向内}
\]
等速圆周运动也要求切向合力为零，因为速率保持不变。
力 A 有一个 \(8.0\) N 的向前切向分量，因此力 B 必须有一个 \(8.0\) N 的向后切向分量。
对力 A 而言，只有它的切向分量会对功率有贡献：
\[
P_A=F_{A,t}v
=(8.0)(4.0)
=32\text{ W}
\]
符号为正，因为这个分量与运动方向相同。
对力 B，
\[
P_B=(-8.0)(4.0)
=-32\text{ W}
\]
它的切向分量以相同速率移除能量。
因此，
\[
P_{\text{net}}=32-32=0\text{ W}
\]
径向分量不做功，因为它们与速度垂直。
很容易犯的错误是，一听到「等速圆周运动」，就宣称每一个力都必定不做功。等速圆周运动真正保证的是合功为零。个别的力可以沿相反方向传递能量，同时让总动能保持不变。
问题 4一颗 \(0.50\) kg 的小珠被驱动，以恒定速率沿半径 \(1.20\) m 的光滑垂直圆形轨道运动。马达可以在需要时施加沿轨道切线方向的力。小珠在整个运动过程中的速率都保持 \(4.0\) m s\(^{-1}\)。
取 \(g=9.8\) m s\(^{-2}\)。
a. 求小珠从圆周底部移动到顶部时，重力所做的功。
b. 求同一段路程中马达所做的功。
c. 轨道施加的正向力做了多少功？
d. 当小珠位于圆周右侧并正向上运动时，求马达必须施加的切向力。
e. 马达在完整一圈中的净功为零。这是否表示马达从未向小珠传递能量，或从小珠取走能量？
解答 4从底部到顶部，重力做 \(-11.8\) J 的功，马达做 \(+11.8\) J 的功，正向力做 \(0\) J 的功；在圆周右侧，马达必须沿轨道向上施加 \(4.9\) N 的力。马达在完整一圈中做功为零，并不代表它在每一瞬间都没有进行能量传递。
从底部到顶部，小珠上升的高度等于圆的直径：
\[
\Delta h=2r=2(1.20)=2.40\text{ m}
\]
重力所做的功等于重力位能变化量的负值：
\[
W_g=-mg\Delta h
=-(0.50)(9.8)(2.40)
=-11.76\text{ J}
\]
所以，
\[
W_g\approx-11.8\text{ J}
\]
小珠的速率保持不变，因此
\[
\Delta K=0
\]
所以总功必须为零。
正向力始终与小珠沿轨道的瞬时运动方向垂直，因此
\[
W_N=0
\]
所以马达必须恰好补回被重力移除的能量：
\[
W_{\text{motor}}+W_g+W_N=0
\]
\[
W_{\text{motor}}-11.76+0=0
\]
因此
\[
W_{\text{motor}}=+11.76\text{ J}
\]
当小珠位于圆周右侧时，它正垂直向上运动。重力垂直向下，与运动方向完全相反。
为了使速率保持不变，切向合力必须为零。因此，马达必须提供一个向上的切向力，大小等于小珠的重量：
\[
F_{\text{motor}}=mg
=(0.50)(9.8)
=4.9\text{ N}
\]
在圆周下降的半圈中，重力做正功。为了防止小珠加速，马达必须透过做负功来移除这部分能量。
在完整一圈中，这些正功与负功会彼此抵消。
很容易犯的错误是认为恒定速率代表每一个力都不做功。恒定速率只要求总功为零。在这个例子中，重力与马达都会与小珠交换能量，而径向的正向力不做功。
问题 5一个 \(0.40\) kg 的冰球在无摩擦的水平桌面上运动，并连接到一条穿过桌面小孔的绳子。
最初，冰球绕著小孔运动。接著，一名实验者向下拉绳子。在某一瞬间：
冰球的切向速度为 \(3.0\) m s\(^{-1}\)，它的径向速度为 \(0.25\) m s\(^{-1}\)，方向向内，而且绳子的张力为 \(18\) N，方向向内。在接下来 \(0.12\) m 的向内径向运动中，张力由 \(18\) N 线性增加至 \(30\) N。假设张力是唯一对冰球做功的力。
a. 求初始瞬间张力提供的瞬时功率。
b. 求张力在这 \(0.12\) m 向内运动期间所做的功。
c. 求冰球的最终速率。
d. 解释为甚么这个结果不会与「向心力不做功」的说法矛盾。
解答 5张力最初提供 \(4.5\) W 的功率，在向内运动期间做 \(2.88\) J 的正功，而冰球的最终速率约为 \(4.84\) m s\(^{-1}\)。这并不矛盾，因为冰球此时已不再以固定半径做等速圆周运动。
在初始瞬间，张力沿径向指向内侧。此时冰球具有一个 \(0.25\) m s\(^{-1}\) 的向内径向速度分量。
只有沿力方向的速度分量会对功率有贡献，因此
\[
P=Fv_r
=(18)(0.25)
=4.5\text{ W}
\]
功率为正，因为力与径向运动指向相同方向。
在接下来的 \(0.12\) m 中，张力由 \(18\) N 线性增加至 \(30\) N。因此，它在这段位移上的平均值为
\[
F_{\text{avg}}
=\frac{18+30}{2}
=24\text{ N}
\]
力与径向位移方向相同，因此
\[
W=F_{\text{avg}}s
=(24)(0.12)
=2.88\text{ J}
\]
根据功-能定理，
\[
\Delta K=+2.88\text{ J}
\]
现在求初始总速率。径向与切向速度分量互相垂直，因此
\[
v_i^2=(3.0)^2+(0.25)^2
=9.0625
\]
初始动能为
\[
K_i=\frac12mv_i^2
=\frac12(0.40)(9.0625)
=1.8125\text{ J}
\]
因此，
\[
K_f=K_i+2.88
=4.6925\text{ J}
\]
利用 \(K_f=\frac12mv_f^2\)，
\[
4.6925=\frac12(0.40)v_f^2
\]
\[
v_f^2=\frac{2(4.6925)}{0.40}
=23.4625
\]
\[
v_f\approx4.84\text{ m s}^{-1}
\]
很容易直觉地回答 \(0\) J，因为张力「指向圆心」。这只有在冰球以固定半径绕圆周运动，而且速度完全沿切线方向时才正确。
一旦绳子被向内拉，冰球就具有径向运动。因此，张力不再与冰球的总速度垂直。
把一个力称为「向内」并不会自动使它所做的功为零。功为零的结果来自理想固定半径圆周运动中，力与速度互相垂直这个条件。
09这能让你进一步分析甚么真正有用的区分其实不是「圆周运动的力对普通力」，而是径向与切向。
径向力分量可以转动速度向量，而不改变速率。切向分量会改变速率，因此也会改变动能。如果半径本身开始改变，那么即使是径向力也能传递能量，因为物体此时具有径向运动。
这种拆分方式正是你处理更困难的圆周运动问题时所需要的，包括变速圆周运动、垂直圆周、轨道运动，以及多个实际力共同参与运动的情况。